수학의 기초라고 할 수 있는 덧셈!
그중에서도 우리는 '1' 이라는 숫자 두개를 더하는 '1+1=2' 라는 식을 먼저 배운다.
왜냐하면 '1' 이란 기초적이면서 제일 작은 자연수라고 우리가 칭하기 때문이다.
1. "공리"와 "정리"
우리는 먼저 "공리"와 "정의" 라는 것을 알아야 한다.
"공리"
① 참으로 받아들이는 명제.
② 이론체계의 가장 기초적인 근거.
"정의"
① 용어나 기호의 의미를 명확히 정한 것.
2. 페아노 공리계
페아노 공리계는 19세기 이탈리아 수학자 주세페 페아노가 처음으로 제안을 한 공리계이다.
수리논리학에서 자연수의 체계를 묘사하는 5개의 공리를 말한다.
위 글은 피아노의 공리계를 설명해 놓은것이다.
위의 다섯 가지의 공리를 무정의라고 한다
3. + 의 정의
"+"의 정의
자연수 집합에 0을 추가한 집합 N+에 대해, 덧셈(+)을 다음 두 조건을 만족하는
함수 + : N+×N+ → N+라 정의한다.
① ∀n∈N+, n+0=n
② n+m'=(n+m)
4. 1+1=2 의 증명
1+1=1+0' ∵ 1의 정의
=(1+0)' ∵ 덧셈의 정의 ②
=1' ∵ 덧셈의 정의 ①
=2 ∵ 2의 정의
5. 이해
1+1=2의 증명에 대한 이해는덧셈의 정의와 페아노공리계만 알고 있다면
4줄로 증명가능한 어렵지 않다.